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哪些常见的求极限方法

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第一篇:《求极限的常用方法》

求极限的常用方法

摘要 极限思想是大学课程中微积分部分的基本原理,这显示出极限在高等数学中的重要地位。同时,极限的计算本身也是一个重要内容。 关键词 极限;计算方法

初等数学的研究对象基本上是不变的量,而高等数学的研究对象则是变动的量。极限方法就是研究变量的一种基本方法。极限分为数列的极限和函数的极限,下文研究的是函数的极限,这些方法对于数列的极限同样适用。

1.直接代入数值求极限

lim(2x1)

例1 求极限x1

lim(2x1)2111

x1

2.约去不能代入的零因子求极限

x41

lim

例2 求极限x1x1

x41(x1)(x1)(x21)limlimlim(x1)(x21)4

x1x1解 x1x1x1

3.分子分母同除最高次幂求极限

x3x2

lim3

例3 求极限x3x1

1x3x21x

lim3limx3x1x313x

注:一般地,分子分母同除x的最高次幂有如下规律

0nn1

axan1xa0limnmm1xbxbxbmm10an

bn

4.分子(母)有理化求极限 例4 求极限x

2

mnmnmn

lim(x23x21)

2

x哪些常见的求极限方法

lim(x3x1)lim

(x23x21)(x23x21)

x23x21

x

lim

2x3x1

2

2

x

0

例5

求极限

x0

哪些常见的求极限方法

xx0

1)2x0

5.应用两个重要极限的公式求极限

sinx

1lim(11)xe

x0xx两个重要极限是和x,下面只介绍第二个公式的例子。

lim

x1limxx1 例6 求极限

x11xx

2

2122x12limlim1lim11ex1xx1xxx1x1解

2

x

6.用等价无穷小量的代换求极限

这可以称之为求极限最简便的方法。常见的等价无穷小有:

当x0 时, sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,

x1~

ln(1x)~xex1~xn ,

,

1cosx~

12

x2,

lim

例7 求极限

x0

xln(1x)1cosx

lim

x0

xln(1x)xx

lim2x011cosxx2

2.

7.用洛必达法则求极限

0

0或型的极限,可通过洛必达法则来求。

lncos2xln(1sin2x)lim

x2例8 求极限x0

2sin2xsin2x

2lncos2xln(1sinx)cos2x1sinxlimlim

x0x22x解 x0

2

lim

sin2x21

32x02xcos2x1sinx

bblna

8.用换底公式ae求极限

例9 极限x0

x

lim(sinx)

哪些常见的求极限方法

lnsinx

lim

x0

x

cosxlimx01

x2

x0

xxlnsinx

lim(sinx)limee

x0

ee

x2cosx

x0sinxlim

e

x2cosxxx0lim

1

以上这些求极限的方法是最基本的方法,而计算中经常会遇到需要两种甚至更多种方法

的综合运用(上面的例子中就有不少这种情况),所以掌握这些方法是求极限的关键。

参考文献哪些常见的求极限方法

[1]同济大学数学系.《高等数学》(上册)·第六版[M].高等数学出版社,2010年. [2]华东师大数学系.《数学分析》(上、下册)[M].高等教育出版社,2001年.

[3]张再云,陈湘栋,丁卫平,涂建斌.极限计算的方法与技巧[J].湖南理工学院学 报(自然科学版), 2009年6月第22卷第2期.

[4]李国华.函数极限的几种求法[J].高师理科学刊,第31卷.

第二篇:《求极限的常用方法》

毕 业 论 文

哪些常见的求极限方法

题 目: 求极限的方法 学 院: 数学与统计学院 专 业: 数学与应用数学 毕业年限:学生姓名: 俞琴 学 号: 指导教师: 伏生茂

求极限的方法

俞 琴

(数学与应用数学 200971010249)

摘要:在数学分析中,极限思想始终贯穿于其中,求极限的方法也显得至关重

要,求数列和函数的极限是数学分析的基本运算.求极限的主要方法有用定义、四则运算法则、迫敛性、两个重要极限、定积分、函数连续性等,除了这些常用方法外,还有许多相关技巧.本文结合自己对极限求解方法的总结,通过一些典型的实例,对求极限的各种方法的很多细节作了具体分析,使方法更具针对性、技巧性,因此,克服了遇到问题无从下手的缺点,能够做到游刃有余.

关键词:极限 单调性 定积分 洛必达法则 函数连续性

一、极限的定义及性质

自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的,而必须通过分析一个无限变化过程的变化趋势才能求得结果,这正是极限概念和极限方法产生的客观基础.

极限概念是数学分析中最基本的概念,因为数学分析的其它基本概念均可用极限概念来表达,且解析运算(微分法、积分法) 都可用极限概念来描述,如函数yf(x)在xx0处导数的定义,定积分的定义,偏导数的定义,二重积分、三重积分的定义,无穷级数收敛的定义,这些数学分析中最重要的概念都是用极限来定义的.极限是贯穿数学分析的一条主线,它将数学分析的各个知识点连在了一起.所以,极限概念与极限运算非常重要,学好极限便为学习数学分析打好了基础.

(一)定义

定义1 设{an}为数列,a为定数,若对任给的正数,总存在正整数N,使得当nN时有 ana,则称数列{an}收敛于a,定数a称为数列{an}的极限,并记作哪些常见的求极限方法

limana,或ana(n).

n

定义2 设函数f为定义在[a,)上的函数,A为定数,若对任给的0,存在正数M(a),使得当xM时有 f(x)A,则称函数f当x趋于时以A为极限,记作

x

limf(x)A或f(x)A(x).

定义2' 设函数f在点x0的某个空心邻域U(x0;)内有定义,A为定数,若对任给的0,存在正数(),使得当0xx0时有f(x)A,则称函数f当x趋于x0时以A为极限,记作

xx0

limf(x)A或f(x)A(xx0).

(二)性质 1.收敛数列的性质:

定理1(唯一性)若数列{an}收敛,则它只有一个极限.

定理2(有界性)若数列{an}收敛,则{an}为有界数列,即存在正数M,使得对一切正整数n有anM.

定理3(保不等式性)设{an}与{bn}均为收敛数列.若存在正数N0,使得当

nN0时有anbn,则limanlimbn.哪些常见的求极限方法

n

n

定理4(迫敛性)设收敛数列{an},{bn}都以a为极限,数列{cn}满足:存在正数N0,当nN0时有ancnbn,则数列{cn}收敛,且limcna.

n

2.函数极限的性质:

定理1(唯一性)若极限limf(x)存在,则此极限是唯一的.

xx0

定理2(局部有界性)若limf(x)存在,则f在x0的某空心邻域U(x0)内有

xx0

界.

定理3(保不等式性)设limf(x)与limg(x)都存在,且在某领域U(x0;)

xx0

xx0

内有f(x)g(x),则limf(x)limg(x).

xx0

xx0

定理4(迫敛性)设limf(x)limg(x)A,且在某邻域U(x0;)内有

xx0

xx0

f(x)h(x)g(x) ,则limh(x)A.

xx0

二、极限的计算方法

(一)利用定义求极限

例1 用极限的N定义证明lim证: 由于

11

0

nn

111

n,则,即 n1

n



1

0,这里为正数.

nn

故对任给的0,令

1

存在N1



1,当nN时,便有11,即10成立. nnN

这便证明了lim

1

0. nn!

xx0

例2 用极限的定义证明limxx0. 证:对0,要使xx0,取

xx0

xx0

2

,则当xx0时,

2

成立

所以limxx0.

注:由ana或f(x)A出发,借助恒等变形和不等式变形进行适当放大,由给定的找到相应的N()或().

(二)利用四则运算法则求极限

应用数列或函数极限的四则运算法则,其前提条件是参加运算的数列或函数首先是收敛数列或函数,其次在做除法运算时,要求必先使分母的极限不为0,值得注意的是在应用数列或函数极限的四则运算前,先把所给的商式消去分子分母的公共零因子.

例3 求limn(n1n).

n

解:先对括号里的式子进行分子有理化

n(n1n)

nn1n

111n

[1]1

由11(n)及例1(设an0(n1,2,).证明:若limana,则

nn

limana.)得

n

limn(n1n)lim

n

11

1n

n

1. 2

(三)利用无穷小量求极限 1.无穷小量的性质

(1)两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. (2)无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.

1

例4 求limx2sin.

x0x

解:当x0时,x2是无穷小量,sin所以有limx2sin

x0

11

为有界量,即limx20,sin1,

x0xx

1

0. x

2.无穷小与无穷大的关系:互为倒数

x21

例5 求lim.

x1x1

解:由题可知,lim(x21)0,lim(x1)0,同时因为lim

x1

x1

x1

x1

0,所以x21

x21x1

. 当x12是无穷小量,因而它的倒数是无穷大量,即lim

x1x1x1

(四)利用迫敛性求极限 例6 求lim(

x

1n1

2

1n2

2



1nn

2

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